最后一块石头的重量 II - Last Stone Weight II

【动态规划】【背包问题】

Problem Link

有一堆石头，每块石头的重量都是正整数。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块石头。返回此石头最小的可能重量。如果没有石头剩下，就返回 0。

Example:

示例：

输入：[2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

提示：

1 <= stones.length <= 30
1 <= stones[i] <= 1000

Analysis

由于石头拿走还能放回去，因此可以简单地把所有石头看作两堆
假设总重量为 sum, 则问题转化为背包问题：
如何使两堆石头总重量接近 sum / 2

定义：

dp[i] 背包容量限制为 i 时能够装载的最大石块总重量
curStone 存在最优解 dp[i] 时需要考虑的下一块石块重量

$$\begin{equation}dp[i]=max\left{\begin{array}{lr}\text{dp[i],}&\quad\text{不拿取 curStone,}\text{dp[i-curStone] + curStone,} &\quad\text{拿取 curStone.}\end{array}\right.\end{equation} $$

具体可以参考背包问题理解

Solution 【动态规划】

执行用时 : 4 ms, 在Last Stone Weight II的Java提交中击败了78.67% 的用户

内存消耗 : 33.9 MB, 在Last Stone Weight II的Java提交中击败了100.00% 的用户

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class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        /* 由于石头拿走还能放回去，因此可以简单地把所有石头看作两堆
         * 假设总重量为 sum, 则问题转化为背包问题：如何使两堆石头总重量接近 sum / 2
         */
        int len = stones.length;
        /* 获取石头总重量 */
        int sum = 0;
        for (int i : stones) {
            sum += i;
        }
        /* 定义 dp[i] 重量上限为 i 时背包所能装载的最大石头重量 */
        int maxCapacity = sum/2;
        int[] dp = new int[maxCapacity + 1];
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            int curStone = stones[i];
            for (int j = maxCapacity; j >= curStone; j--) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-curStone] + curStone);
            }
        }
        return sum - 2 * dp[maxCapacity];
    }
}

复杂度分析

时间：$O(M * N)$

空间：$O(M)$

M：石块总重；N：石块总数